Képfeldolgozás II

Ebben a részben tulajdonképpen folytatjuk a képfeldolgozással kapcsolatos ismereteink bővítését és megismerkedünk néhány gyakorlati képfeldolgozási módszerrel, ezen belül

1. az élkiemeléssel,
2. a hisztogram fogalmával, és a hisztogram transzformációval történő képfeldolgozással , és néhány
3. lokális szűrési eljárással.

Gyakorlati képfeldolgozási módszerek

Az ismertetett matematikai alapok felhasználásával lehetőség nyílik arra, hogy a képekből kiemeljük az éleket, illetve a képek élességének illetve kontrasztosságának globális vagy helyi változtatására.

Élkiemelés

Egy korábbi pontban megismerkedtünk a kölcsönös tájékozás fogalmával és bemutattuk azt a módszert, mely segítségével a kapcsoló pontok parallaxis különbsége automatikusan, lineáris korreláció segítségével számítható. Nem szóltunk azonban arról hogyan választjuk ki a mintaállományt illetve a keresési állományt, hogyan biztosítható, hogy a korreláció megbízható eredményeket szolgáltasson, s egyben a keresési állományt lehetőleg kis területre korlátozzuk. A módszer, mellyel ezek a kérdések megoldhatók az élkiemelésen alapul. Még nagyobb az élkiemelés jelentősége, ha a kölcsönös tájékozást a kiemelt és a két képen megfelelőként azonosított élek alapján végezzük kétdimenziós korrelációval.

Hasonlóképpen fontos szerepet játszik az élkiemelés a számítógépes alakfelismerésben, amikor digitális ortofotó vagy szkennelt térkép szabályos entitásait (házak, utak, térképek esetében szimbólumok) kívánjuk automatikusan felismerni és a GIS objektummá alakítani.

Harmadik alkalmazási területként a digitális magasságmodell segítségével történő felületelemzést említjük, amikor az 'élkiemelés' tulajdonképpen az idomvonalak (hátvonalak, völgyvonalak) detektálását szolgálja. Az ismertetett módszer eredményeképpen megkapjuk azokat a helyeket ahol a képfüggvényen alkalmazott LoG operátor zérus eredményt ad. Az így nyert 'kép' azonban túl kontrasztos és rendszerint csak az élek helyével összefüggő műveletekre használható. Azt hogy miként használhatjuk a Laplace operátort kontrasztnövelésre a lokális szűrési módszerek között fogjuk tárgyalni.

Legegyszerűbben az élkiemelést az úgy nevezett második különbségek módszerével hajthatjuk végre.

Diszkretizáljuk kétdimenziós esetre a skalár függvényre alkalmazott Laplace operátort olymódon, hogy a függvényt helyettesítsük a kétdimenziós sz(x,y) szürkeségi érték függvénnyel, a deriváltakat pedig a kérdéses pixelre vonatkozó differencia hányadosokkal. Eljárásunk eredményeképpen az i,j pixelre vonatkozó második szürkeségi érték különbség a következő képlettel írható fel:

.

Nem nehéz felismerni hogy a fenti eredményt úgy is megkaphatjuk, ha a diszkrét konvolúció kifejezésében az alábbi r mátrixot alkalmazzuk:

.

Úgy is fogalmazhatunk, hogy ha a konvolúciót végrehajtjuk a szürkeségi érték függvényen a fenti r szűrő mátrixszal, úgy az eredményen az élek kiemelődnek.

A LoG operátor alkalmazása esetén, a szűrést és az élkiemelést együtt végezzük. A szűrés ebben az esetben azt a célt szolgálja, hogy a segítségével csak azokat az éleket válasszuk ki, melyek az adott feladat szempontjából számításba jönnek. Így a kölcsönös tájékozáshoz távoli élek tehát nagy szigma értékek szükségesek, míg a tájékozott képekben végrehajtott parallaxis meghatározás kis szigmákat igényel. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy a növelése a szűrésre felhasznált mátrix dimenziójának növekedésével jár, hisz a 3.49-es ábrán látható görbe annál szélesebb és laposabb minél nagyobb . A LoG operátor ugyanis értéknél veszi fel a 0 értéket.

Az operátort ábrázoló felület és az XY sík közötti köbtartalom egy negatív és egy pozitív részből áll, melyek összege zérus. Amikor a függvényt diszkretizáljuk (a pixel középpontok fölé eső ordinátákból álló négyzetes szimmetrikus mátrixszal helyettesítjük) gondoskodnunk kell arról hogy a kerekítéseket úgy végezzük, hogy a mátrix-ablak elemeinek összege zérust adjon.

A hisztogram fogalma, képfeldolgozás hisztogram transzformációval

Az sz szürkeségi értékek a szkennerekben egy pixel tárolására figyelembe vett bitek b számának, illetve a szenzor érzékenységének függvényében 0 és 2^b-1 között a megvilágítás erősségével arányos egész szám értéket vesznek fel. Azt az analóg-digitális transzformációt, amely a szkennelés során keletkező feszültségeket intervallumokba rendezi és a feszültség intervallumokat a szürkeségi érték skálán elhelyezkedő egész számokhoz rendeli kvantálásnak nevezzük.

Ha egy síkbeli derékszögű koordináta rendszerben a vízszíntes tengelyre felrakjuk a kvantálás eredményeképpen nyerhető sz szürkeségi értékeket a 0 és 2^b-1 határok között, a függőleges tengelyre pedig az adott szürkeségi értékű pixelek számának hányadosát az összes pixelek számával, úgy a szürkeségi értékek gyakorisági görbéjét, vagy idegen szóval hisztogramját nyerjük.

3.50 ábra - szürkeségi értékek gyakorisági görbéje (hisztogramja)

Egy egyszerű kisméretű hisztogramot a 3.50 ábrán mutatunk be, a h ordináta értékek a h = n_sz / N kifejezésből számíthatók, ahol n_sz a kérdéses szürkeségi értékű pixelek száma, N pedig az összes pixel száma.

Az eredeti kép hisztogramjának módosításával, illetve az eredeti szürkeségi érték skála megváltoztatásával, ami ugyancsak a feldolgozott kép hisztogramjának megváltozásával jár együtt, csökkenteni tudjuk a helytelen megvilágításból eredő hibákat, valamint a képek túlzott kontraszt szegénységét. Olyan gyakorlati esetekben is szükségünk lehet a hisztogramok transzformációjára, amikor a rendelkezésünkre álló megjelenítő eszköz (grafikus kártya) képtelen a képekben adott tónusgazdagságot vagy színszámot visszaadni s ezért a szürkeségi érték vagy színtartományt redukálni kell. Sok hisztogram transzformációs módszert beépített függvényként alkalmaznak a raszteres GIS szoftverek, ezért célszerű ha megismerkedünk néhány eljárás alapelvével.

Jelölje a bemenő szürkeségi értékek halmazát Sz_b, a transzformáció eredményeképpen kapott szürkeségi érték halmazt pedig Sz_k. Jelöljük az eredeti és transzformált halmazok legkisebb és legnagyobb értékeit sz_bmin, sz_kmin illetve sz_bmax, sz_kmax-al. Mivel a transzformáció során nem feltétlelenül az egész bemenő intervallumot kívánjuk transzformálni jelöljük a bemenő jel transzformációban figyelembe veendő alsó illetve felső határát sz_balsó sz_bmin és sz_bfelső sz_bmax -al.

A gyakori, szakaszonkénti lineáris transzformációt az alábbi kifejezéssel hajtjuk végre:

.

A kifejezésből látható, hogy a transzformációhoz meg kell adnunk mind sz_balsó és sz_bfelső, mind pedig sz_kmin és sz_kmax értékeit.

A vázolt módszerrel kétféleképpen is módosíthatjuk a szürkeségi értékeket. Ha sz_balsó>sz_bmin és/vagy sz_bfelső<sz_bmax akkor sávszűkítésről beszélünk, akkor alkalmazhatjuk, ha olyan szürkeségi értékeink vannak a sáv szélén, melyek nem jeleníthetők meg, vagy ha a sáv szélen található szürkeségi értékek elhagyása csak érdektelen területeken csökkenti a kontrasztot, globálisan viszont erősíti a képpontok különbségét tehát növeli a kontrasztot. Ez utóbbi megállapítás persze csak akkor igaz, ha a bemenő és kimenő kép szürkeségi intervalluma azonos marad.

Ha az eredeti kép szürkeségi értéktartománya nem tölti ki a lehetséges intervallumot a kimenő képet a lineáris transzformációval széthúzhatjuk a lehetséges szürkeségi érték tartományra, ami egyfelől azt fogja eredményezni, hogy a kontraszt globálisan növekszik, másfelöl, hogy a kimenő hisztogramban lukak keletkeznek.

Lineáris transzformálás helyett a transzformációra más függvények is alkalmazhatók. Ha a függvényt f(sz_b)-el jelöljük, úgy a transzformált szürkeségi értékeket az

kifejezésből nyerjük.

Amint már említettük, a két fenti kifejezésben a kimenő szürkeségi értékek maximális és minimális értéke szabadon választható paraméterként jelentkezik. Ha ezeket a paramétereket a 3.51 ábrán felvázolt módon úgy választjuk meg, hogy a bemenő hisztogram szélességét egy s skalárral megnyújtjuk, és egyben gondoskodunk arról, hogy a kimenő hisztogramm szélső értékeinek távolságai a lehetséges szürkeségi értékek határoló értékeitől úgy arányoljanak egymáshoz mint a bemenő hisztogram szélső értékei és a kimenőhisztogram szélső értékei közötti intervallumok, úgy olyan módszert kapunk, mely alkalmas az egyenlőtlen háttér megvilágítás kiegyenlítésére.

A transzformált szürkeségi értékeket az alábbi kifejezésből nyerjük:

3.51 ábra - háttér-megvilágítás kiegyenlítése

Megfigyelhetjük, hogy az eddig alkalmazott szürkeségi érték transzformációk során a hisztogram ordinátákat nem vettük figyelembe a számításoknál. A következő transzformáció-típus az úgy nevezett hisztogram kiegyenlítés már számol ezekkel a mennyiségekkel is.

Az eljárás egyik célja az, hogy utólagosan finomítsa a gyakori szürkeségi értékeknek megfelelő kvantálást, míg a ritkább szürkeségi értékű képpontok szürkeségi osztályait csökkentse, s ezzel elérje, hogy a kimenő hisztogram ordinátái egy konstans egyeneshez közelítsenek. Másik célként azt jelölhetjük meg, hogy normalizálni akarjuk valamilyen célból a fényképet. Ilyen cél lehet például, ha az átfedő kép pár képei különböző megvilágítási viszonyok mellett készültek. Ebben az esetben a közös feldolgozás minőségét jelentősen javíthatja, ha az egyik kép hisztogramját a másik kép hisztogramjára transzformáljuk.

Jelölje az eredeti hisztogramm ordinátáit , a kiegyenlített hisztogramét pedig , akkor a hisztogram alapértelmezéséből következik, hogy

.

Az átalakítás feladata abban rejlik, hogy a kiegyenlített hisztogram az eredetinek valamilyen függvénye legyen s egyben lépésenként kielégítse az alábbi összefüggést:

.

Az előbbi kifejezés direkt megoldását nehezíti, hogy m_n explicit kifejezése általában nehézségekkel jár, ezért a direkt megoldás helyett rendszerint iterációt alkalmaznak.

3.52 ábra - hisztogram kiegyenlítés

A 3.52 ábra példáján azt tételeztük fel, hogy a kiegyenlített hisztogramban a szürkeségi érték osztályok száma éppen az eredeti szürkeségosztályok számának fele,

azaz

. Ebben az esetben a hisztogram definíciója értelmében:

Mivel ekkor a kifejezés jobb oldala

-ra egyszerűsödik

a számítást úgy végeztük, hogy sorra kiszámítottuk azokat az m_n-eket, melyekre az alábbi egyenlőtlenség fennáll:

.

Az m_n-ek ismeretében aztán kiszámíthatók az egyenletet kielégítő értékek.

Amint a 3.52 ábrából is látható az eredményként kapott hisztogram nem teljesen egyenletes ami azzal magyarázható, hogy az egyenlet csak akkor oldható meg pontosan, ha az eredeti szürkeségi osztályokat tovább bontjuk és ugyanahhoz a szürkeségi osztályhoz tartozó pixelekhez különböző szürkeségi értékeket rendelünk a kiegyenlített hisztogramban. Nem igényel részletes magyarázatot, hogy ezt az átcsoportosítást csak akkor tudjuk visszavezetni a konkrét pixelekre ha figyelembe vesszük a szomszédos pixelek eredeti szürkeségi értékeit is.

Lokális szűrési eljárások

A lokális szűrési eljárások két főcsoportra oszthatók. Az első csoport simítja a képeket, csökkenti a kontrasztot, a második csoport éppen ellenkezőleg a kontraszt kiemelésére szolgál.

A simító eljárások lineáris és nem lineáris alcsoportokra oszthatók.

A lineáris módszerek közvetlenül alkalmazzák a diszkrét konvolúciót. A módszerek közötti különbség abban van, hogy milyen az r mátrix.

A simítás akkor a legteljesebb ha

.

Nem nehéz észrevenni, hogy a fenti mátrixszal történő szűrés eredményeképpen minden képpont szürkeségi értéke a szűrés után egyenlő lesz a kérdéses pont és a szomszédos pontok szürkeségi értékeinek számtani közepével. Problémaként merülhet fel, hogy miként értelmezzük ezt és a további eljárásokat a szélső pixelek esetében.

Legegyszerűbb az az eljárás amikor a szűrő dimenziójának megfelelően csökkentik a szűrt kép dimenzióját: 3x3-as szűrő esetén az első és utolsó sorral és oszloppal, 5x5-ös szűrő esetén két-két sorral és oszloppal stb.

Gyakran alkalmazzák azt a módszert, amikor az érintett szélső pixelek szürkeségi értékeit változatlanul hagyják.

Végül, alkalmazhatják a diszkrét konvolúció felírásakor elfogadott feltételt is, hogy a transzformálandó kép dimenzióját az érintett sorok és oszlopok tükrözésével megnövelik.

Az egyszerű számtani közép helyett a szűrést végezhetjük súlyozott számtani középképzéssel is például az alábbi szűrő mátrix alkalmazásával:

.

A normáleloszlás sűrűség függvénye, mely egyszerű szemlélet alapján is beláthatóan, diszkretizálás után alkalmas lehet a diszkrét képelemeken végrehajtott szűrési funkcióra, a binomiális eloszlás felhasználásával az alábbi 7x7-es szűrőmátrixszal közelíthető:

.

A nagyméretű szűrőmátrixok alkalmazása azonban a futásidő szempontjából nem előnyös, ezért a szélesebb tartományra eső súlyozás szüksége esetén inkább kisebb szűrőmátrixszal végeznek többszöri szűrést. Igazolható ugyanis [11], hogyha az egyenletes súlyozású szűrőmátrixot egymásután háromszor végigfuttatjuk a képen (természetesen az eredeti képen csak egyszer, utána az egyszer szűrt képen, utána pedig a kétszer szűrt képen), úgy ez egyenértékű azzal mintha az alábbi 5x5-ös mátrixszal végeznénk a szűrést:

.

A lineáris szűrési eljárásokat tulajdonképpen azért nevezzük lineárisnak, mivel a térben végrehajtott konvolúció a frekvencia tartományban a műveletben résztvevő függvények Furier transzformáltjai közötti szorzásra egyszerűsödik. A műveleteket a frekvencia tartományban végrehajtva szemléletessé válik, hogy a simító szűrők alúláteresztő szűrők, mivel csak az alacsonyabb térfrekvenciájú komponenseket eresztik át, a magasabbakat elnyomják.

A gyakorlatban igen eredményesen alkalmaznak olyan szűrő eljárásokat, melyek nem tekinthetők konvolúciónak, s ezért nem vihetők át lineáris műveletek formájában a frekvencia tartományba. Ezeket az eljárásokat nem lineáris szűrő eljárásoknak nevezzük.

Első nem lineáris eljárásként ismerkedjünk meg a küszöb alatti középérték képzéssel. Az eljárás szavakkal úgy fogalmazható meg, hogy az előzőekben ismertetett szűrő módszer nyújtotta középértéket csak akkor fogadjuk el a pixel új értékének, ha az eredeti szürkeségi értéktől kisebb mértékben különbözik (azaz az eltérés abszolút értéke kisebb) mint az előre megadott T küszöb érték. Ha ez a feltétel nem teljesül, úgy a vizsgált pixel eredeti szürkeségi értéke az eljárás során változatlan marad. A módszer segítségével a T érték függvényében többé vagy kevésbé biztosítani tudjuk azt, hogy az élek a simítás ellenére is fennmaradjanak. A helyes T érték megválasztása két értelemben is feladatfüggő: függ a szűrendő kép textúrájától s a megoldandó feladattól.

A mediánszűrés esetén az alkalmazott ablakkal (3x3, 5x5) egymásután lefedjük az eredeti kép valamennyi pixelét (a szélső pixelekkel kapcsolatos problémák lehetséges megoldásairól a lineáris szűrésekkel kapcsolatban már szóltunk). Minden szűrőhelyzetben a lefedett képpixelek szürkeségi értékeit sorbaállítjuk és a helyzet középső pixelének szűrt értékét egyenlővé tesszük a nagyság szerint középső szürkeségi értékkel. Ha valamely szűrő helyzetben a különböző szürkeségi értékek száma páros, úgy a középre szimmetrikus két szomszédos szürkeségi érték középértékét tekintik médiánnak. A módszer alkalmazása kis ablakok esetén nem befolyásolja a jelentősebb élek (vonalak) leképződését a szűrt képen.

A Nagao féle szürés rendszerint 5x5-ös ablakkal dolgozik. Az ablakot a korábbi eljárásokhoz hasonlóan végigtoljuk a bemenő kép pixelein. Minden ablak helyzetben a középső pixelnek megfelelő pixel szürkeségi értékét a szűrt képen egyenlővé teszik az ablak által lefedett bemenő pixelek egy részhalmaza szürkeségi értékeinek számtani közepével. 5x5-ös ablak esetén a 3.53 ábra szerinti nyolc darab egyenként 7 pixelt tartalmazó, széleiken átfedő szabálytalan és egy középponti 9 pixeles részhalmaz vizsgálatára kerül sor.

Abból a részhalmazból számolják a középértéket, amely szürkeségi értékeinek varianciája a legkisebb (legyen a részhalmazban található pixelek száma m, a g.-ik részhalmaz szürkeségi értékeinek számtani közepe

	, akkor a részhalmaz szürkeségi értékeinek varianciája		.
3.53 ábra - a Nagao féle szűrés

A módszer alapelvéből következik, hogy a pixelek közötti jelentős szürkeségi érték különbségek, melyek élekre utalnak, nem folynak bele a simítási folyamatba.

Bár a hétköznapi szóhasználat szűrés alatt a simítást vagy az egyenlőtlenségek kiküszöbölését érti, amint láttuk ez a szűrés típus a Furier transzformáción alapuló rádiótechnikai analógiával csak az alul áteresztő szűrést valósítja meg. A felül áteresztő szűrésnek az a specifikus válfaja, mely az alacsonyabb frekvenciákat nem oltja ki teljesen, hanem csak csökkenti szolgál a képfeldolgozásban a kontraszt erősítésére.

A Laplace illetve LoG operátorok alkalmazásával kapcsolatban megismerkedtünk az élkiemelés fogalmával, de azt mondtuk, hogy az így kiemelt kép túl kontrasztos és csak a kérdéses (a LoG esetén megfelelő térgyakoriságú) élek detektálására alkalmas.

A Laplace operátort azonban felhasználhatjuk a kontraszt növelésére is, ha kivonjuk az eredeti szürkeségi értékből:

.

A c egy kísérletileg meghatározandó konstans. A fenti szűrés konvolúciós formában is megadható. Emlékeztetőül írjuk fel még egyszer a diszkrét konvolúció képletét:

.

Az r_2N+1,2N+1 mátrix N=1 és c=1 esetén:

.

A c változtatásával növelhetjük illetve csökkenthetjük a kontrasztosságot. Természetesen bármilyen c-t is alkalmazunk az eredményül kapott kép kontrasztosabb lesz mint az eredeti kép.

A LoG operátort gyakorlati szempontból nem célszerű ennél a szűrésnél a Laplace operátor helyett alkalmazni, mivel a függvényében 3x3-asnál jóval nagyobb szűrő mátrix kell a közelítéséhez. Az irodalomban azonban számtalan 3x3-as mátrixszal találkozunk a felüláteresztő szűrőkben, példaképpen a [12] alapján még bemutatunk kettőt:

, illetve

.

· a következő részben megkezdjük a távérzékelés tárgyalását

· esetleg visszatérhet az előző részhez

· illetve a tartalomjegyzékhez

---

Megjegyzéseit E-mail-en várja a szerző: Dr Sárközy Ferenc

---